Review de papers

On the calibration of size parameters related to non-classical continuum theories using molecular dynamics simulations

Shariati et al (2021)

El índice de la búsqueda

En este artículo cogen un disco de grafeno y lo simulan con MD.

Rojo: Fijado, Gris: Libre

Realizan la simulación de vibración libre de las partículas obteniendo un time series

La frecuencia principal del time series puede obtenerse con un FFT.
Azul: AIREBO, Rojo: Tersoff (funciones de potencial de energía)

En este artículo no realizan una normalización de las frecuencias

Esta gráfica es similar a la que se presenta Fernando en su artículo del doctorado.

Para la simulación no local parten de:

$$u_{r} = - z\frac{dw}{dr}$$u_z = wRelacionan las deformaciones radiales y deformaciones angulares con los desplazamiento radiales y angulares. Con ello y la ley constitutiva arman un set de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones constitutivas que se trabajan corresponden a:

• Strain Gradient Theory
• Strain Driven Non-Local Elasticity (modelo diferencial)
• Stress Driven Non-Local Elasticity (modelo integral)
• Non-Local Strain Gradient Theory

Nos interesa el modelo integral!

El modelo integral que usan tiene:

$$\alpha(\rho) = \frac{1}{2l}e^{- \rho}$$Donde
$$\rho = \frac{|X - X^{\prime}|}{l}$$El valor que le ponen como λ₀ a esta ecuación esta calculado para una placa, por lo cual es distinto al que usamos en las simulaciones 2D.

Nota

En este modelo constitutivo no usan los factores ζ₁ y ζ₂.

Para solucionar las ecuaciones diferenciales que salen de las ecuaciones constitutivas usan Generalized Differential Quadrature Rule (GDQR). Con ello se obtienen las frecuencias de vibración de dicha placa y se comparan con las obtenidas para la simulación de MD.

Extraen gráficas donde intentan calibrar los parámetros de cada una de las teorías con los resultados de MD.

En las conclusiones ponen esto:

The frequencies obtained by stress/strain driven nonlocal elasticity and strain gradient theory are not equal to the frequencies obtained from molecular dynamics simulation for some range radii. Therefore, based on these theories, the size effect parameter cannot be calibrated for these ranges.

Sin embargo, en la sección de resultados presentan esta gráfica:

Modelo diferencial con e₀a = 3.94

En el caso de la teoría integral casi ninguno de los radios obtiene frecuencias iguales a las de MD.

Cuando realizan las simulaciones con los distintos radios obtienen valores de los parámetros no locales que cambian dependiendo el tamaño. Dado que es comparación entre dos métodos numéricos se espera error. Dado que las gráficas no están normalizadas, la diferencia entre las frecuencias de MD y las frecuencias obtenidas por los métodos no locales no se ven tan lejanas, sin embargo en datos se diferencian en unos cuantos GHz.

Este artículo tiene mucha relevancia porque es de los pocos que evalúa distintas teorías no locales al tiempo. Para mostrar mas lo que sucede, un pequeño resumen de las teorías no locales relevantes

• Strain Gradient Theory
  (No entiendo esta todavía pero rigidiza). Parámetro L
• Modelo Integral (Eringen):
  σ_ij = ζ₁C_ijklε_kl + ζ₂∫_Ω^′α(ρ)C_ijkl^′ε_kl^′dΩ^′
• Modelo Diferencial (Eringen):
  (1 − e₀a∇²)σ_ij = C_ijklε_kl
• Non-Local Strain Gradient Theory:
  Combina Strain Gradient Theory con el modelo diferencial. Dos parámetros: e₀a y L

De este artículo se puede saltar para determinar el estado del arte en cuanto a calibración se refiere. Ahora esto se limita a una página por artículo.

Sahmani and Fattahi (2017) (Analítico)

Calculan el parámetro para placas de carbono usando pandeo comparando con simulaciones de MD. Usan teoría diferencial no local. Les da que e₀a = 1.03nm.

Se presenta disminución de rigidez

Sahmani and Fattahi (2017) (Analítico)

Lo mismo de antes pero ahora no lineal. Les da que e₀a = 0.37nm.

Se presenta disminución de rigidez

Shen et al. (2010) (Analítico/No lineal)

Calibran el parámetro sacando las frecuencias de vibración de Single Layer Graphene Sheets (SLGS). Usan MD (Airebo) para encontrar las frecuencias. Usan teoría diferencial. En este caso, el parámetro toma distintos valores dependiendo del tamaño de la placa.

Murmu and Pradhan (2009)

No calibran pero desarrollan la teoría para los SLGS que usó el artículo anterior. En este caso ponen que e0_a < 2nm Esta afirmación la hacen porque:

Wang² (2007) (Analitico)

Muestra la ecuación constitutiva para la teoría diferencial.

Realiza viga Timoshenko y de ello saca la conclusión que e₀a < 2nm (medida conservativa)

Importante:

Therefore, it can be concluded that the adopted value of the coefficient e0 depends on the crystal structure in lattice dynamics and the nature of the physics under investigation.

Huang et al. (2012) (Analitico)

Caso lineal de Shen et al. 2012
Presenta una revisión bibliográfica de los valores de e₀ hasta la fecha:

En este artículo encuentra una expresión para calcular e₀a. Es la primera metodología que no se basa en minimizar una función de costo.

De las simulaciones encuentra que e₀a depende del tamaño del dominio.

Este valor de e₀ generalmente va acompañado de el factor a. En general, la teoría diferencial puede expresarse como:
(1 − e₀a∇²)σ_ij = C_ijklε_kl

• e₀: Parámetro material.
• a: Parámetro que viene de atomic lattice. Generalmente llamado longitud interna.
  Se conoce que dichos parámetros tienen un efecto de disminución en la rigidez (en la mayoría de los casos)

Naghinejad and Ovezy (2018)

In fact, due to the simplicity of working with partial differential equations [...], most of the studies in the current field have been conducted using equation differential instead of equation integral. However, it should be noted that only for some special kernels, the integral form of nonlocal theory could be converted to the differential form.

De aquí encontré que la teoría diferencial es un caso específico de la teoría integral. Con una función de atenuación específica!!!!!

Ghorbani et al (2021)

Procedimiento igual al de Shariati et al (2021) pero con nonlocal strain gradient y en CNT.

Barreta et al. 2019

Formulación de teoría de placas no local. Varios de los artículos de calibración se basan en la teoría de este artículo.

Sahmani and Fatthi (2018) (Numerico)

Pandeo de SLGS, comparando con MD.
Conclusión: Calibración depende de condiciones de frontera también

Shaat and Abdelkefi (2017)

Otra teoría no local "mas general" que tiene dos funciones de atenuación. Estas dos funciones de atenuación están relacionadas a las dos constantes de Lamé.

Mehralian et al. (2017)

Calibran CNT usando nonlocal strain gradient. Comparan los resultados frecuencias de MD.

Nota:

Hay varios artículos que hacen este mismo procedimiento pero teniendo en cuenta distintas teorías y distintas condiciones de borde.

Lim Zhang and Reddy (2015)

Desarrollo de la teoría nonlocal strain gradient. Donde se evidencia que parten de la teoría diferencial de Eringen.

Nazemnezhad and Hosseini (2014) (Numérico)

Calibran parámetros no locales para un material laminado comparando con frecuencias obtenidas de MD. Usan teoría diferencial.

Khademolhosseini (2012) (Analítico)

Calibran teoría diferencial para CNT usando frecuencias de MD.

Este lo pongo porque las gráficas se parecen a las que nos están dando. Concluyen que no local depende del tamaño

Relevancia

La EXTENSA mayoría de los artículos que realizan calibración, la realizan usando el modelo diferencial

Nosotros usamos teoría integral

La mayoría de los artículos que tengo revisados realizan la calibración en 1D y 2D

Nosotros estamos en 3D

La mayoría de los artículos usan carbono y grafeno

Los resultados de su artículo tienen germanio y silicio

Resultados

Intentando pegarle a la vuelta a la brava con ζ = 0.5

Cada linea de esas son como 8 horas de procesar

Al aumentar l la rigidez disminuye. Los valores de l usados son cercanos al máximo valor de l posible computacionalmente. Para valores de 1/R <0.06 es posible encontrar el valor de l para que las frecuencias de MD coincidan con las de la teoría integral.

Mientras mayor sea el R mas fácil calibrar l

En el artículo Shariati 2021 los valores para la teoría diferencial solo se pudieron calcular para los valores de R mas grandes!!!

Sensibilidad para tamaño de elemento con l = 0.2

A menor valor de l se necesita un tamaño de elemento menor lo que implica tiempos de integración y solución mayores

Sensibilidad para tamaño de elemento con l = 0.4

Al aumentar poco el valor de l, el comportamiento oscilante se amortigua.

Para valores grandes de l el comportamiento oscilante tiende a desaparecer y se necesita una menor cantidad de elementos.

En Naghinejad and Ovesy (2018) resaltan la importancia de calibrar el parámetro ζ₁.

Variando ζ₁ para ver el efecto que tiene.

El parámetro ζ₁ aumenta la rigidez (ya que hace que la parte local tenga una mayor contribución)
Me falta agregar otras líneas a esta gráfica que correspondan a lo mismo pero con valores de l = [0.4, 0.8]

Variación de las frecuencia cambiando el ζ₁ para distintos valores de R usando l = 0.4

Referencias