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Aplicabilidad de la teoría de elasticidad no local en comportamiento mecánico de sólidos usando FEM

Arturo Rodriguez Herrera
da.rodriguezh@uniandes.edu.co

Fernando Ramirez Rodriguez
framirez@uniandes.edu.co

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Teoría no local

Interacción de largo alcance entre elementos. Tomado de Pisano et al. (2009)

Comparación entre esfuerzos cortantes producidos por una carga puntual. Tomado de Eringen (1987)

La teoría clásica no logra predecir el comportamiento a escala nano métrica (Fleck et al., 1994; Stölken & Evans ,1998; Ramirez, 2006) \[{\Large\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}}\]

Tener en cuenta las fuerzas de cohesión de largo alcance entre partículas (Eringen, 1983) \[{\Large\sigma_{ij}=\int_{\Omega}\alpha(\rho)C_{ijkl}\varepsilon'_{kl}dv'}\]

Notas presentación
- Local no predice comportamiento a nano escala
- Eringen 1987, interacciones de largo alcance
- Singularidades de esfuerzos
- Modificación a la ecuación constitutiva

Notas extendido
Que es la teoría no local

El comportamiento mecánico de materiales en dimensiones muy pequeñas es diferente de su comportamiento a macro escala. Por lo tanto, las teorías clásicas de elasticidad no pueden predecir el comportamiento de los materiales a escala nano métrica. En consecuencia, se han desarrollado varias teorías para predecir el comportamiento mecánico de materiales a nano escala.

Una de estas teorías es la teoría no local de elasticidad, desarrollada principalmente por Eringen en 1972. Esta teoría logra incluir los efectos de fuerzas cohesivas de largo alcance en la modelación del medio continuo.

Frase obligatoria

No local es modificación a ley constitutiva.

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Objetivo

Encontrar el tamaño para el cual no es relevante usar la teoría no local

¿Cómo?
Frecuencias naturales de vibración para:

Nanopartículas (cubos y esferas)
Placas
Vigas (voladizo y empotradas)

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Metodología

Introducción

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Resultados

Modelo no local de 2 fases

\[\scriptsize{\sigma_{ij}=\zeta_1 C_{ijkl}\varepsilon_{kl} + \zeta_2\int_{\Omega}A(\rho)C_{ijkl}\varepsilon'_{kl}dv'}\]

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Resultados

Modelo no local de 2 fases

\[\scriptsize{\sigma_{ij}={\color{gray} \zeta_1} C_{ijkl}\varepsilon_{kl}+ {\color{gray} \zeta_2\int_{\Omega}A(\rho)C_{ijkl}\varepsilon'_{kl}dv'}}\]

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Resultados

Modelo no local de 2 fases

\[\scriptsize{{\color{gray}\sigma_{ij}= \zeta_1 C_{ijkl}\varepsilon_{kl}+} \zeta_2\int_{\Omega}A(\rho)C_{ijkl}\varepsilon'_{kl}dv'}\]

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Métodos

Resultados

Modelo no local de 2 fases

\[{\color{blacks}\scriptsize{\sigma_{ij}= {\zeta_1} C_{ijkl}\varepsilon_{kl}+ {\zeta_2}\int_{\Omega}A(\rho)C_{ijkl}\varepsilon'_{kl}dv'}}\]

Representa que tanta no localidad se tiene en cuenta

$\scriptsize{\zeta_1+\zeta_2=1}$

Pondera los efectos efectos no locales entre puntos del dominio

$A\left(\frac{|x-x'|}{l}\right)=\lambda_0e^{-\frac{|x-x'|}{l}}$

Esfuerzos planos (2D): $\small\lambda_0=\frac{1}{2\pi l^2t}$

Elasticidad (3D): $\lambda_0=\frac{1}{8\pi l^3}$

Notas presentación
- Factor no local z1
- Que tanta no localidad entra en juego
- Deben sumar 1
- Evita inestabilidades numéricas

Notas extendido
Modelo no local

Dichos aportes son ponderados usando los factores zeta (no se pronunciar zeta en griego, no hacer el ridículo.) Dar la tecla espacio
Estos factores representan un material compuesto de dos fases, por lo tanto, la suma de los dos factores debe ser 1. Dar espacio
Aquí deben salir los 3 modelos 3D. Mover uno de ellos con el mouse

En el modelo 1 se ve el primer modo de vibración de un cubo usando la teoría clásica (z1=1)
En el modelo 2 se ve el primer modo de vibración de un cubo usando la teoría no local (z1=0.5)
En el modelo 3 se ve el primer modo de vibración de un cubo usando (z1=0)

Frases obligatorias El zeta es muy relevante en la implementación computacional, ya que, de solo tener en cuenta la parte no local (z2=1) se llegan a irregularidades numéricas.

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Modelo de elementos finitos

FEM no local

Para implementar elementos finitos es necesario seguir una serie de pasos

Enmallado (pre proceso)
Detección elementos no locales
Formulación variacional/Forma débil
Matrices y vectores de elementos
Ensamblaje de sistema de ecuaciones
Condiciones de borde
Solución del sistema de ecuaciones/eigenvalues
Gráficas y productos (post proceso)

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Resultados

Formulación variacional/Forma débil

Se parte del modelo integral de dos fases y la ecuación de movimiento: $$\small\sigma_{ij}=\zeta_1 C_{ijkl}\varepsilon_{kl} + \zeta_2\int_{\Omega}A(\rho)C_{ijkl}\varepsilon'_{kl}dv'\\ \sigma_{ij,j}+f_i=0$$

Sustituyendo el modelo constitutivo en la ecuación de movimiento e integrando sobre el volumen ponderadamente (FEM) se obtiene: $$\small\int_{v}w\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\zeta_1 C_{ijkl}\varepsilon_{kl} + \zeta_2\int_{\Omega}A(\rho)C_{ijkl}\varepsilon'_{kl}dv'\right)+f_i\right)dv=0$$

Integrando por partes se puede llegar a expresiones para la matriz de rigidez de un elemento: $$\small K^e=\zeta_1\int_v B^T(x) C B(x)dv+\zeta_2\int_v\int_{v'} A(\rho) B^T(x) C B(x')dv'dv$$ En esta expresión la matriz $B$ hace referencia a las derivadas de las funciones de forma y la matriz $C$ al tensor de elasticidad del material.
Los efectos no locales afectan la rigidez pero no afectan la masa del sistema

Notas presentación
- Modelo constitutivo y ecuaciones de movimiento en su forma de esfuerzos
- Integral ponderada para elementos finitos. Integral de volumen
- Integrando por partes, gradiente
- Ecuaciones para la matriz de rigidez del elemento
- 2 partes, local y no local con z1
- No local es doble integral sobre el dominio
- No local tiene función de atenuación
- Masa no cambia

Notas extendido
FEM no local

Para encontrar las ecuaciones a nivel de elemento para implementar elementos finitos partimos de la ecuación constitutiva y de la ecuación de movimiento. Remplazando estas ecuaciones con las expresiones de deformaciones unitarias se obtiene un set de ecuaciones diferenciales acopladas. Estas ecuaciones acopladas se integran en el dominio, se multiplican por una función de ponderación y se igualan a cero para obtener la formulación integral ponderada que es necesaria para hacer elementos finitos. Posteriormente se integra por partes y se aplica el teorema del gradiente para obtener expresiones para la matriz de rigidez y el vector de fuerzas de elemento. Debido a que la ecuación constitutiva tiene una integral en el dominio, la expresión para matriz de elemento tendrá dos integrales. Esto obliga a realizar una doble integral sobre el dominio.

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Integrales cruzadas

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Proceso de elementos finitos completo

Diagrama de flujo del proceso de elementos finitos no local

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Validación de la implementación

La implementación del método se encuentra en un repositorio de GitHub: https://github.com/ZibraMax/FEM

Modelo objetivo. Adaptado de Pisano et al. (2009)

Comparación de $\varepsilon_x$ para $y=2.519$

Comparación de $\varepsilon_x$ para $x=0.019$

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Resultados

Normalización de frecuencias

Para comparar entre resultados se usa la frecuencia normalizada ($\eta $ ) $$\eta=\frac{\omega R}{C_t}$$

Donde $C_t$ es la velocidad de la onda de corte

Para cada simulación se realizan los siguientes pasos

Se calcula la frecuencia normalizada con la teoría no local $\eta_{nl}$
Se calcula la frecuencia normalizada con la teoría local $\eta_{l}$
Se calcula la diferencia relativa entre las frecuencias naturales de vibración

$$\Delta=\left|\frac{\eta_{nl}-\eta_{l}}{\eta_{l}}\right|$$

Si $\Delta>5\%$ aumentar el tamaño $R$

Notas presentación
- Elimina la dependencia del tamaño en no local
- Diferencias relativas entre frecuencias naturales de vibración normalizadas
- Si diferencia del 5% consideramos que el tamaño es suficiente

Notas extendido
Metodología

Para poder comparar entre resultados se usa una normalización de la frecuencia. Esta normalización asegura que cambiando el tamaño de la nanoestructura $R$, la frecuencia local se mantiene constante.
Se busca evaluar la diferencia relativa entre la frecuencia local y frecuencia no local hasta que la diferencia relativa sea menor al 5%. Para disminuir esa diferencia se aumenta el tamaño de la nanopartícula hasta lograr el objetivo

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Resultados

Simulaciones propuestas (3D)

Cubo de lado $L$

\[ l/R=[0.02,2]\]

\[ \zeta_1=[0.1,0.9]\]

\[ R=L/1.612\]

\[ \eta=\frac{\omega_1R}{C_t}\]

Esfera de radio $R$

\[ l/R=[0.05,1.5]\]

\[ \zeta_1=[0.1,0.9]\]

\[ \eta=\frac{\omega_1R}{C_t}\]

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Resultados

Simulaciones propuestas (2D)

Placa de lado $L$

\[ l/R=[0.04,70]\]

\[ \zeta_1=[0.1,0.9]\]

\[ t=L/10\]

\[ R=\sqrt[3]{\frac{3L^2t}{4\pi}}\]

\[ \eta=\frac{\omega_1R}{C_t}\]

Viga de longitud $R$

\[ l/R=[0.05,0.2]\]

\[ \zeta_1=[0.1,0.9]\]

\[ b=h=R/10\]

\[ \eta=\omega_1R^2\sqrt{\frac{A\rho}{EI}}\]

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Resultados

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Resultados

Independencia del material

Frecuencias naturales de vibración para cubos usando teoría no local con $l=2,\zeta_1=0.5$

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Resultados

Diferencia relativa de frecuencias naturales de vibración no locales

Resultados para frecuencias naturales de vibración normalizadas de cubos ($l=2,\zeta_1=0.5$)

$$\eta_{nl}(R)=1.73-2.84\frac{1}{R}$$ $$\Delta=\left|\frac{\eta_{nl}(R)-\eta_{l}}{\eta_{l}}\right|\%$$ Para conseguir $\Delta=5\%$ es necesario: $$R=34l$$

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Resultados

FRECUENCIAS NATURALES DE VIBRACIÓN CAMBIANDO $l$

Frecuencias naturales de vibración para cubos cambiando el valor de $l$. $\zeta_1=0.5$

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Resultados

Comportamiento de frecuencias naturales de vibración

$\omega_{nl}=10459.88 $
$R=1$
$l=0.1$

$\omega_{nl}=5198.75 $
$R=2$
$l=0.2$

$\omega_{nl}=3103.22 $
$R=3$
$l=0.3$

$\eta_{nl}=1.5881$
$\frac{l}{R}=0.1 $

$\eta_{nl}=1.5829$
$\frac{l}{R}=0.1 $

$\eta_{nl}=1.5924$
$\frac{l}{R}=0.1 $

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Resultados

Comportamiento de frecuencias naturales de vibración

Frecuencias naturales de vibración para cubos normalizando el tamaño con repecto a $l$

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Resultados

Resultados para cubos

Introducción

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Resultados

Resultados para cubos

Frecuencias naturales de vibración para cubos

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Resultados

Resultados para cubos

Regresión de mínimos cuadrados para cubos

\[\eta_{nl}\left(\frac{l}{R},\zeta_1\right)=\eta_l+a1\frac{l}{R}(\zeta_1-1)\] La regresión esta restringida a la frecuencia local. Con ello se cumple que: \[\lim_{R\to \infty} \eta\left(\frac{l}{R},\zeta\right)=\eta_l\] \[\eta\left(\frac{l}{R},0\right)=\eta_l\] Para cubos se obtiene $a_1=2.6475 $

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Resultados

Resultados para cubos

Valor de $\frac{l}{R}$ para el cual la curva de $\zeta_1=0.1$ esta por debajo del 5% de la frecuencia local

\[\frac{l}{R}=\frac{1}{50}\]

Valor de $\frac{l}{R}$ para el cual la pendiente numérica de $\zeta_1=0.5$ esta por debajo del 5%

\[\frac{l}{R}=1\]

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Resultados

Resultados para esferas

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Métodos

Resultados

Resultados para esferas

frecuencias naturales de vibración para esferas

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Resultados

Resultados para placas

Introducción

Métodos

Resultados

Resultados para placas

frecuencias naturales de vibración para placas

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Resultados

Resultados para vigas en voladizo

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Resultados

Resultados para vigas en voladizo

frecuencias naturales de vibración para vigas en voladizo

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Resultados

Resultados para vigas empotradas

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Resultados

Resultados para vigas empotradas

frecuencias naturales de vibración para vigas empotradas

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Resultados

Resultados para regresiones y rangos

Geometría	$\pmb{\eta_l}$	Regresión para $\pmb{\eta_{nl}}$	$\pmb{R^2}$	$\pmb{l/R_{min}}$	$\pmb{l/R_{max}}$
Cubos	1.776	$\eta_l+2.648\frac{l}{R}(\zeta_1-1)$	0.845	1/50	1
Esferas	2.505	$\eta_l+3.414\frac{l}{R}(\zeta_1-1)$	0.883	1/52	1
Placas	1.126	$\eta_l+0.389\frac{l}{R}(\zeta_1-1)$	0.954	1/10	2.5
Vigas voladizo	3.493	$\eta_l+43.21\frac{l}{R}(\zeta_1-1)$	0.886	1/425	0.1
Vigas empotradas	21.064	$\eta_l+290.9\frac{l}{R}(\zeta_1-1)$	0.890	1/460	0.1

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Resultados

Conclusiones

La Independencia del material en la frecuencias naturales de vibración que se presenta en elasticidad clásica, se mantiene en easlticidad no local
La respuesta de frecuencias naturales de vibración no depende del tamaño o de $l$, sino de la relación $\pmb{\frac{l}{R}}$
Como era esperado, las frecuencias naturales de vibración no locales tienden a la local cuando se aumenta el tamaño $\frac{l}{R}\to 0$
Existe un valor de $\frac{l}{R}$ para el cual, el comportamiento las frecuencias naturales de vibración no locales se vuelve constante al disminuir el tamaño y lineal al aumentar el tamaño
Es posible caracterizar el comportamiento de las frecuencias con una regresión lineal múltiple
Cada nano estructura tiene un rango de aplicación distinto
- Las estructuras 3D tienen un rango similar
- Las vigas tienen un rango similar a pesar de tener distintas
  condiciones de borde

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Resultados

¡Muchas gracias!
¿Preguntas?

Introducción

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Resultados

Referencias

Eringen, A. C. (1972). Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves. International Journal of Engineering Science, 10(5), 425–435. https://doi.org/10.1016/0020-7225(72)90050-X

Eringen, A. C. (1983). On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves. Journal of Applied Physics, 54(9), 4703–4710. https://doi.org/10.1063/1.332803

Eringen, A. C., & Edelen, D. G. B. (1972). On nonlocal elasticity. International Journal of Engineering Science, 10(3), 233–248. https://doi.org/10.1016/0020-7225(72)90039-0

Fleck, N. A., Muller, G. M., Ashby, M. F., & Hutchinson, J. W. (1994). Strain gradient plasticity: Theory and experiment. Acta Metallurgica et Materialia, 42(2), 475–487. https://doi.org/10.1016/0956-7151(94)90502-9

Ghorbani, K., Rajabpour, A., & Ghadiri, M. (2021). Determination of carbon nanotubes size-dependent parameters: Molecular dynamics simulation and nonlocal strain gradient continuum shell model. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 49(1), 103–120. https://doi.org/10.1080/15397734.2019.1671863

Lam, D. C. C., Yang, F., Chong, A. C. M., Wang, J., & Tong, P. (2003). Experiments and theory in strain gradient elasticity. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 51(8), 1477–1508. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(03)00053-X

Introducción

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Referencias

Naghinejad, M., & Ovesy, H. R. (2018). Free vibration characteristics of nanoscaled beams based on nonlocal integral elasticity theory. Journal of Vibration and Control, 24(17), 3974–3988. https://doi.org/10.1177/1077546317717867

Nguyen, N.-T., Kim, N.-I., & Lee, J. (2015). Mixed finite element analysis of nonlocal Euler–Bernoulli nanobeams. Finite Elements in Analysis and Design, 106, 65–72. https://doi.org/10.1016/j.finel.2015.07.012

Polizzotto, C. (2001). Nonlocal elasticity and related variational principles. International Journal of Solids and Structures, 38(42–43), 7359–7380. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(01)00039-7

Ramirez, F. (2006). VIBRATION OF NANOSTRUCTURES: FROM ATOMIC TO CONTINUUM SCALES.

Sahmani, S., & Fattahi, A. M. (2018). Development of efficient size-dependent plate models for axial buckling of single-layered graphene nanosheets using molecular dynamics simulation. Microsystem Technologies, 24(2), 1265–1277. https://doi.org/10.1007/s00542-017-3497-3

Shariati, M., Azizi, B., Hosseini, M., & Shishesaz, M. (2021). On the calibration of size parameters related to non-classical continuum theories using molecular dynamics simulations. International Journal of Engineering Science, 168, 103544. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2021.103544

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Referencias

Stölken, J. S., & Evans, A. G. (1998). A microbend test method for measuring the plasticity length scale. Acta Materialia, 46(14), 5109–5115. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(98)00153-0

Wang, Y. B., Zhu, X. W., & Dai, H. H. (2016). Exact solutions for the static bending of Euler-Bernoulli beams using Eringen’s two-phase local/nonlocal model. AIP Advances, 6(8). https://doi.org/10.1063/1.4961695

Geometría	\(\pmb{\eta_l}\)	Regresión para \(\pmb{\eta_{nl}}\)	\(\pmb{R^2}\)	\(\pmb{l/R_{min}}\)	\(\pmb{l/R_{max}}\)
Cubos	1.776	\(\eta_l+2.648\frac{l}{R}(\zeta_1-1)\)	0.845	1/50	1
Esferas	2.505	\(\eta_l+3.414\frac{l}{R}(\zeta_1-1)\)	0.883	1/52	1
Placas	1.126	\(\eta_l+0.389\frac{l}{R}(\zeta_1-1)\)	0.954	1/10	2.5
Vigas voladizo	3.493	\(\eta_l+43.21\frac{l}{R}(\zeta_1-1)\)	0.886	1/425	0.1
Vigas empotradas	21.064	\(\eta_l+290.9\frac{l}{R}(\zeta_1-1)\)	0.890	1/460	0.1

Aplicabilidad de la teoría de elasticidad no local en comportamiento mecánico de sólidos usando FEM

Introducción

Teoría no local

Objetivo

Encontrar el tamaño para el cual no es relevante usar la teoría no local

Metodología

Modelo no local de 2 fases

Modelo no local de 2 fases

Modelo no local de 2 fases

Modelo no local de 2 fases

Modelo de elementos finitos

FEM no local

Formulación variacional/Forma débil

Formulación variacional/Forma débil

Integrales cruzadas

Proceso de elementos finitos completo

Validación de la implementación

Normalización de frecuencias

Simulaciones propuestas (3D)

Simulaciones propuestas (2D)

Resultados

Independencia del material

Diferencia relativa de frecuencias naturales de vibración no locales

FRECUENCIAS NATURALES DE VIBRACIÓN CAMBIANDO \(l\)

Comportamiento de frecuencias naturales de vibración

Comportamiento de frecuencias naturales de vibración

Resultados para cubos

Resultados para cubos

Resultados para cubos

Resultados para cubos

Resultados para esferas

Resultados para esferas

Resultados para placas

Resultados para placas

Resultados para vigas en voladizo

Resultados para vigas en voladizo

Resultados para vigas empotradas

Resultados para vigas empotradas

Resultados para regresiones y rangos

Conclusiones

¡Muchas gracias! ¿Preguntas?

Referencias

Referencias

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¡Muchas gracias!
¿Preguntas?